lineární – Laplaceova, vedení tepla, (lineární) transportní rovnice
kvazilineární – Poissionova, nehomogenní vedení tepla,
systémy – maxwellovy rovnice, Navier-Stokes
klasifikace rovnic 2. řádu
kladná vl. čísla matice koeficientů u nejvyšších derivací – eliptická (Laplaceova)
alespoň jedno vl. číslo 0 – parabolická (vedení tepla)
všechna nenulová a alespoň jedno kladné a jedno záporné – hyperbolická (vlnová rovnice)
nosič \(\mathrm{supp}\left( f \right)\) funkce \(f\) definujeme jako \(\mathrm{supp}\left( f \right) = \overline{\left\{x \in X; f(x) \neq 0\right\}}\)
\(\int_U \mathrm{D}u \cdot \mathrm{D}v \,\mathrm{d}x = \int_{\partial U} \frac {\partial v} {\partial \vec{n}}u \,\mathrm{d}S - \int_U u \Delta v \,\mathrm{d}x\)
\(\int_U u \Delta v - v \Delta u \,\mathrm{d}x = \int_{\partial U} \frac {\partial v} {\partial \vec{n}}u - \frac {\partial u} {\partial \vec{n}}v \,\mathrm{d}S\)
objem cibule: \(\int_{B\left( x_0, r \right)} f \, \mathrm{d}x = \int_0^r \int_{\partial B\left( x_0, s \right)} f \, \mathrm{d}S \mathrm{d}s\)
Kapitola 2
transportní rovnice má obecně tvar \[
u_t + b \cdot \mathrm{D}u = 0 \iff (1,b) \cdot (u_t, \mathrm{D}u) = 0
\] na \(\mathbb{R}^n \times (0, \infty)\) a řešení hledáme jako \(u \in C^{}(\mathbb{R}^n \times [0, \infty))\)
funkce \(z(s) = u(x + sb, t + s)\) (integral curve, charakteristika) je konstantní na přímce dané bodem \((x-tb, 0)\) a směrovým vektorem \((b,1)\) pro libovolný bod \(x \in \mathbb{R}^n\)
řešení homogenní rovnice \(u_t + b \cdot \mathrm{D}u = 0\) na \(\mathbb{R}^n \times (0, \infty)\) a \(u = g\) na \(\mathbb{R}^n \times \left\{t = 0\right\}\) je \(u(x,t) = g(x - tb)\)
řešení homogenní rovnice je \(u(x,t) = g(x - tb) + \int_0^t f(x + (\xi - t)b, \xi) \, \mathrm{d}\xi\)
perturbace homogenní rovnice \(u_t + b \cdot \mathrm{D}u + c \cdot u = 0\) na \(\mathbb{R}^n \times (0, \infty)\) a \(u = g\) na \(\mathbb{R}^n \times \left\{t = 0\right\}\)
perturbovaná rovnice má řešení \(u(x,t) = g(x - tb) e^{-ct}\), které dostaneme přes \(z(s)\) dávající ODE
Kapitola 3
hledáme řešení PDE ve tvaru “vhodné kombinace”, nejčastěji násobení, tj. \(u(x,t) = v(x)w(t)\), nebo sčítání, tj. \(u(x,t) = v(x) + w(t)\)
uvedený příklad na rovnici vedení tepla ve tvaru \[\begin{align*}
u_t - \Delta u = 0 & \text{ na } U \times (0, \infty), \\
u = 0 & \text{ na } \partial U \times (0, \infty), \\
u = g & \text{ na } U \times \left\{t = 0\right\}
\end{align*}\] ve tvaru \(u(x,t) = v(x)w(t)\).
vede to na Sturmovu-Liouvilleovu úlohu (\(\Delta v(x) + \lambda v(x) = 0\) na \(U\) a \(v(x) = 0\) na \(\partial U\)) nalezení vlastní čísel a funkcí k danému operátoru
Kapitola 5
připomenutí PDE prvního řádu – má tvar \(F(\mathrm{D}u, u, x) = 0\) na otevřené množině \(U\) a řešení hledáme na uzávěru \(\overline{U}\).
zavedeme parametrizaci jako \(\mathrm{D}u = p\) a \(u = z\), což dává \(F(p, z, x) = 0\)
předpokládejme, že nyní ještě \(u = g\) na \(\Gamma \subseteq \partial U\)
definujeme charakteristiky – křivky \(\vec x(s)\) na kterých budeme schopni vyčíslit \(u\) v \(\overline{U}\)
v neposlední řadě pomocí tvaru \(z'(s)\) dostaneme systém 2n+1 ODE \[\begin{align*}
[\vec p(s)]' &= - \mathrm{D}_x F(\vec p(s), z(s), \vec x(s)) - \mathrm{D}_z F(\vec p(s), z(s), \vec x(s)) \vec p(s), \\
z'(s) &= \mathrm{D}_p F(\vec p(s), z(s), \vec x(s)) \cdot \vec p(s), \\
[\vec x(s)]' &= \mathrm{D}_p F(\vec p(s), z(s), \vec x(s))
\end{align*}\] celkem jsme tedy hledali křivky (charakteristiky), podél kterých PDE přechází na ODE
u homogenní lineární rovnice (\(\vec b(x) \cdot \mathrm{D}u(x) + c(x) u(x) = 0\)) a dokonce i kvazilineární rovnice (\(\vec b(x, u(x)) \cdot \mathrm{D}u(x) + c(x, u(x)) = 0\)) se ve vyjádření \(z'(s), [\vec x(s)]'\) nebude nacházet \(\vec p\), což nám redukuje systém na \(n + 1\) neznámých
Kapitola 6
začneme s definicí konvoluce měřitelných funkcí \(f,g\) na \(\mathbb{R}^n\) jako \[
(f *g)(x) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) \mathrm{d}y
\]
vlastnosti konvoluce poté jsou
\(f *g \equiv g *f\)
\((f *g) *h \equiv f *(g *h)\)
nechť \(\tau_{z}\) je translace (posunutí) o \(z \in \mathbb{R}\), tj. \(\tau_{z} f(x) = f(x - z)\), potom \(\tau_{z} (f *g) \equiv (\tau_{z} f) *g \equiv f *(\tau_{z} g)\)
\(\mathrm{supp}\left( f *g \right) \subseteq \overline{(\mathrm{supp}\left( f \right) + \mathrm{supp}\left( g \right))}\)
první si k libovolné otevřené množině \(U\) definujeme \(U_{\varepsilon} = \left\{x \in U; \mathrm{dist}(x, \partial U) > \varepsilon\right\}\)
konstrukce regularizační funkce (vyhlazovací jádro)
dále uvažujeme funkci \(h(t) = e^{-\frac 1 t}\) pro \(t>0\) a \(0\) jinak, která je dokonce \(h \in C^{\infty}(\mathbb{R})\)
pak \(h(1 - \left| x \right|^2) \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)\) neboť je nulová pro \(\left| x \right| \geq 1\). Navíc \(\int_{\mathbb{R}^n} h(1 - \left| x \right|^2) \mathrm{d}x = \frac 1 c\) pro vhodné \(c \in \mathbb{R}\)
definujeme hustotu \(\eta_{}(x) = h(1 - \left| x \right|^2)c = \begin{cases}c e^{\frac 1 {1 - \left| x \right|^2}}, & \left| x \right| < 1\\ 0, & \left| x \right| \geq 1\end{cases}\), pak taky \(\eta_{} \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)\)
můžeme ještě “omezit” regularizační funkci pouze na \(\left| x \right| > a\) pomocí \(\eta_{a}(x) = \frac 1 {a^n} \eta_{}\left( \frac x a \right)\)
regularizace funkce potom bodově \(f_{\varepsilon} = \eta_{\varepsilon} *f \to f\) pro \(\varepsilon\to 0\) skoro všude na \(U\) (přesněji \(U_\varepsilon\to U\) pro \(\varepsilon\to 0\))
navíc je opět \(f_\varepsilon\in C_c^{\infty}(U)\)
je-li \(f\) spojitá na \(U\), potom je konvergence stejnoměrná
Fourierovu transformaci \(\mathcal{F}u = \widehat{u}\) funkce \(u \in L^1(\mathbb{R}^n)\) (tj. s konečným integrálem) jako (+ inverzní Fourierovu transformaci \(\check{u}\)) \[
\widehat{u}(y) = \frac 1 {(2\pi)^{\frac n 2}} \int_{\mathbb{R}^n} u(x) e^{-ixy} \mathrm{d}x, \quad \check{u}(y) = \frac 1 {(2\pi)^{\frac n 2}} \int_{\mathbb{R}^n} u(x) e^{ixy} \mathrm{d}x
\]
Fourierova transformace pak
potřebujeme \(\mathcal{F}\) na celém \(L^2(\mathbb{R}^n)\) a tedy pro \(u \in L^2(\mathbb{R}^n) \cap L^1(\mathbb{R}^n)\) je \(\mathcal{F}u \in L^2(\mathbb{R}^n)\)
\(\mathcal{F}: L^2 \cap L^1 \to L^2, \mathcal{F}: u \mapsto \widehat{u}\) zachovává normu, tj. \(\left\lVert u \right\rVert_{L^2(\mathbb{R}^n)} =\left\lVert \widehat{u} \right\rVert_{L^2(\mathbb{R}^n)}\) (tedy je izometrické)
z úplnosti \(L^2(\mathbb{R}^n)\) můžeme rozšířit na izometrii na \(L^2(\mathbb{R}^n)\) a dostáváme Plancherelovu transformaci
vlastnosti Fourierovy transformace
Plancherelova věta: nechť \(u \in L^2 \cap L^1\), potom \(\widehat{u}, \check{u} \in L^2\) a platí \(\left\lVert u \right\rVert_{L^2(\mathbb{R}^n)} = \left\lVert \widehat{u} \right\rVert_{L^2(\mathbb{R}^n)} = \left\lVert \check{u} \right\rVert_{L^2(\mathbb{R}^n)}\)
pro každý multiindex \(\alpha\) a funkci \(u \in L^2(\mathbb{R}^n)\) takové, že \(\mathrm{D}^\alpha u \in L^2(\mathbb{R}^n),\) je \(\widehat{\mathrm{D}^{\alpha} u(y)} = (iy)^\alpha \cdot \widehat{u}(y)\)
pro \(u,v \in L^1 \cap L^2\) platí \(\widehat{u *v} = (2\pi)^{\frac n 2} \widehat{u} \widehat{v}\) v \(L^2\)
Kapitola 7
Definice problému - Laplaceova \(\Delta u = 0\) a Poissonova rovnice \(-\Delta u = f\) na otevřené množině \(U\) (a řešení opět hledáme na uzávěru \(u: \overline{U} \to \mathbb{R}\))
řešení musí být alespoň \(C^2(U)\) aby dávalo smysl
okrajové podmínky Dirichlet \(u = g\) na \(\partial U\) a Neumann \(\frac {\partial u} {\partial \vec{n}} = g\) na \(\partial U\)
Ukázková konstrukce řešení pro \(n = 2\) jako \(\mathcal{R}\) a \(\mathrm{Im}\) část holomorfní funkce
Ukázkové řešení v \(n = 1\) jako lineární funkce
Fundamentální řešení \(\Phi\) Laplaceovy rovnice pro \(n \geq 2\)
invariance Laplaceovy rovnice vůči rotaci (reálně Laplaceova operátoru)
spočítáme \(\frac {\partial v} {\partial x_i}, \frac {\partial ^2 v} {\partial x_i^2}\) a konečně \(\Delta v\)
zjistíme \(\Delta v = \Delta u = 0\)
2x postupně vyřešíme ODE \(v''(r) + \frac {n-1} r v'(r) = 0\) a \(v'(r) = \frac a {r^{n-1}}\) s využitím radiální symetrie
získání fundamentálního řešení \[
\Phi(x) = \begin{cases}
-\frac 1 {2\pi} \log \left| x \right|, & n = 2, \\
\frac 1 {n (n-2) \alpha(n)} \frac 1 {\left| x \right|^{n-2}}, & n \geq 3
\end{cases}
\]
tvrzení, že řešení Poissonovy rovnice je konvoluce fund. řešení \(\Phi\) a pravé strany \(f \in C_c^{2}(\mathbb{R}^n)\), tj. \(u(x) = \Phi*f = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(x-y)f(y) \mathrm{d}y\) je třídy \(C^{2}(\mathbb{R}^n)\) a platí \(-\Delta u = f\)
derivujeme \(\varphi\) podle \(r\) a dostaneme (pomocí Greenových vět) \(\varphi'(r) = 0\)
\(\varphi(r)\) je tedy konstatní a \(\varphi(r) = \lim_{r \to 0^+} \varphi(r) = u(x)\)
nakonec podle objemu cibule \(\mathop{\mathchoice{\,\rlap{-}\!\!\int}
{\rlap{\raise.15em{\scriptstyle -}}\kern-.2em\int}
{\rlap{\raise.09em{\scriptscriptstyle -}}\!\int}
{\rlap{-}\!\int}}\nolimits_{\partial B\left( x, \varepsilon \right)}u(y) \mathrm{d}S(y) = u(x) = \mathop{\mathchoice{\,\rlap{-}\!\!\int}
{\rlap{\raise.15em{\scriptstyle -}}\kern-.2em\int}
{\rlap{\raise.09em{\scriptscriptstyle -}}\!\int}
{\rlap{-}\!\int}}\nolimits_{B\left( x, \varepsilon \right)}u(y) \mathrm{d}y\)
dokonale plošně průměrující se funkce je harmonická
předpokládáme, že existuje takové \(x\), že (na okolí) \(\Delta u(x) \neq 0\) (BÚNO \(\Delta u(x) > 0\))
najdeme si \(r\) takové, že \(\Delta u(y) > 0 \; \forall y \in B\left[ x, r \right] \subseteq U\)
opět definujeme funkci \(\varphi(r) = \mathop{\mathchoice{\,\rlap{-}\!\!\int}
{\rlap{\raise.15em{\scriptstyle -}}\kern-.2em\int}
{\rlap{\raise.09em{\scriptscriptstyle -}}\!\int}
{\rlap{-}\!\int}}\nolimits_{\partial B\left( x, \varepsilon \right)}u(y) \mathrm{d}S(y)\) a zderivujeme ji, pak \(\varphi'(r) > 0\) pro dané r
zjistíme, že funkce \(\varphi r\) musí být roustoucí
to bude spor s plošným průměrováním
Princip maxima
silný princip (maximum na uzávěru \(\max_{x \in \overline{U}} u(x)\) = maximum na hranici \(\max_{x \in \partial U} u(x)\))
slabý princip (maximum na \(U \implies u\) je konstantní na \(\overline{U}\) pro \(U\) souvislou)
potom z průměrování plyne \(M = \mathop{\mathchoice{\,\rlap{-}\!\!\int}
{\rlap{\raise.15em{\scriptstyle -}}\kern-.2em\int}
{\rlap{\raise.09em{\scriptscriptstyle -}}\!\int}
{\rlap{-}\!\int}}\nolimits_{\partial B\left( x_0, r \right)} u(y) \mathrm{d}S(y) \leq M\) pro \(r \in (0, \mathrm{dist}(x_0, \partial U))\)
ze spojitosti \(u \equiv M\) na \(B\left( x_0, r \right)\)
definujeme množinu \(A\) bodů, kde \(u(x) = M\), pak \(x_0\) je vnitřní bod této množiny
\(A\) je jistě otevřená v \(U\) (ke každému bodu \(x \in A\) existuje \(B\left( x, r \right)\) na které je taky \(u\) konstatní)
\(A\) je uzavřená v \(U\) (spojitost \(u\) přenáší konstantnost i na uzávěr \(\overline{A}\)), ale jediná neprázdná obojetná množina je \(U\) samotné
pro slabý princip maxima stačí uvážit množinu \(B = \left\{x \in X; u(x) = \max_{y \in \overline{X}} u(y)\right\}\) kde \(X\) je souvislá komponenta \(U\), na které se realizuje maximum \(u\)
ta je pak buď \(\emptyset\) a tedy se maximum realizuje na \(\partial X \subseteq \partial U\) a nebo není prázdná a potom podle silného principu je na \(\overline{X}\) funkce \(u\) konstantní
jednoznačnost řešení Dirichletova problému Poissonovy rovnice
zjistíme podle principu maxima, že jsou obě nekladné
Spojitost všech řádů - pod podmínkou plošného průměru je funkce \(C^{\infty}(U)\)
použijeme \(U_\varepsilon\) a regularizační funkci \(\eta_{\varepsilon}\)
ukážeme (pomocí objemu cibule a radiální symetrie \(\eta_{\varepsilon}\)), že \(u_\varepsilon\equiv u\) na \(U_\varepsilon\)
z vlastností \(\eta_{\varepsilon}\) a konvoluce plyne, že \(u_\varepsilon\in C_c^{\infty}(U_\varepsilon)\) a protože \(\varepsilon> 0\) bylo libovolné, tak i \(u \in C_c^{\infty}(U)\)
Ohraničenost multiindex-derivací \(\mathrm{D}^{\alpha} u\) harmonické funkce pro každou \(B\left[ x_0, r \right] \subset U\) a každý multiindex \(\alpha\) delky \(k\) platí \[
\left| \mathrm{D}^{\alpha} y(x_0) \right| \leq \frac {c_k}{r^{n+k}} \int_{B\left( x_0, r \right)} \left| u(x) \right| \mathrm{d}x,
\] kde \(c_0 = \frac 1 {\alpha(n)}\) a \(c_k = \frac {(2^{n+1} n k)^k} {\alpha(n)}, k \in \mathbb{N},\) jsou jednotné konstanty pro všechny harmonické funkce \(u\)
Liouvilleova věta – Harmonické a ohraničené funkce na \(\mathbb{R}^n\) jsou nutně konstantní
Všechna ohraničená řešení Poissonovy rovnice jsou \(\Phi*f + c\), kde \(f \in C_c^{2}(\mathbb{R}^n)\) a \(c \in \mathbb{R}\) je konstanta pro \(n \geq 3\)
vzpomeneme si na tvar \(\Phi\) pro \(n \geq 3\)
ukážeme, že pro \(\left| x \right| \to \infty\) je \(\Phi(x) \to 0\)
na kompaktní množině (obsahující \(x\)) je \(\Phi*f\) ohraničená (\(f\) je spojitá na kompaktu)
tedy i \(u\) je ohraničené a pokud bychom měli jiné ohraničené řešení \(v\) tak podle Liouvilleovy věty je jejich rozdíl \(w = u - v\) (ohraničená harmonická funkce) konstantní a tedy \(u = v + c\)
harmonické funkce jsou analytické
Harnackova nerovnost – souměřitelnost pro kladné harmonické funkce \(u\) na \(U\) na souvislých kompaktních vnořeních \(V \subset\subset U\)
souměřitelnost je \(\frac 1 c u(y) \leq u(x) \leq c u(y)\) pro libovolné \(x,y \in V\), jinak řečeno \(\sup_{x \in V}u \leq c \inf_{x \in V} u\) kde \(c\) je nějaká konstatna závislá pouze na množině \(V\)
zvolme \(r = \frac 1 4 \mathrm{dist}(V, \partial U)\) a \(x,y \in V\) tak, že \(\left| x-y \right| < r\)
potom pomocí objemového průměrování nejprve s \(B\left( x, 2r \right)\), přes kterou je integrál větší než přes \(B\left( y, r \right)\), dostaneme \(u(x) \geq \frac 1 {2^n} u(y)\)
jelikož \(V\) je souvislá, tak ji můžeme pokrýt po sobě disjunktními uzavřenými koulemi \(B_1, \dots, B_N\) o poloměru \(r/2\)
potom libovolné 2 body můžeme takto spojit/ohraničit přes \(N\) koulí na \((2^n)^N u(y) \geq u(x) \geq \frac 1 {(2^n)^N} u(y)\)
Řešení Dirichletova problému \(u = g\) na \(\partial U\) Poissonovy rovnice \(-\Delta u = f\)
řešení hledáme přes 3. Greenovu větu na \(V_\varepsilon= U \setminus B\left( x, \varepsilon \right)\)
z vlastnosti \(\Phi\) zjistíme, že \(\int_{V_e} u(y) \Delta\Phi(y - x) \mathrm{d}y = 0\) (zde kvůli integraci přes \(V_e\) je \(\Phi\) dobře definované)
zjistíme, že \(\int_{\partial B\left( x, \varepsilon \right)} u(y) \frac {\partial \Phi} {\partial \vec{n}}(y-x) \mathrm{d}S(y) \to u(x)\) pro \(\varepsilon\to 0\)
zjistíme, že \(\int_{\partial B\left( x, \varepsilon \right)} \Phi(y-x) \frac {\partial u} {\partial \vec{n}} (y) \mathrm{d}S(y) \to 0\) pro \(\varepsilon\to 0\)
zavedeme korekční funkci \(\varphi^{\times}\) pro pevné \(x \in U\) jako řešení \[\begin{align*}
\Delta\varphi^{\times}(y) &= 0, & &\text{ na } U, \\
\varphi^{\times}&= \Phi(y - x), & &\text{ na } \partial U
\end{align*}\] a provedeme stejnou úvahu jako v předchozím případě (kroky 1, 2) s \(\varphi^{\times}\) místo \(\Phi\) ale na množině \(U\). Na hranici pak splývá \(\varphi^{\times}\) a \(\Phi\)
proto zavedeme Greenovu funkci \(G\) jako odchylku korekční funkce \(\varphi^{\times}\) a fundamentálního řešení \(\Phi\), \(G(x,y) = \Phi(y-x) - \varphi^{\times}(y)\)
sečtením původního tvaru a úprav pro \(\varphi^{\times}\) tak dostáváme tvar \(u\) přes Greenovu funkci \(G\)\[
u(x) = - \int_{\partial U} u(y) \frac {\partial G} {\partial \vec{n}}(x,y) \mathrm{d}S(y) - \int_U G(x,y) \Delta u \mathrm{d}y
\]
Výše uvedené myšlenky dokazují Greenovu větu
Ukážeme konstrukci Greenovy funkce, a tedy i korekční funkce \(\varphi^{\times}\), pro otevřenou množinu \(\mathbb{R}^n_+ = \left\{x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n; x_n > 0\right\}\) (není ohraničená takže budeme potřebovat ověřit, že se jedná skutečně o řešení)
zvolme jako \(\varphi^{\times}= \Phi(y - \tilde{x})\), kde reflektovaný bod \(\tilde{x}\) se liší od \(x\) znaménkem poslední souřadnice - funkce \(\varphi^{\times}\) nemá na \(\mathbb{R}^n_+\) singularitu
z radiální symetrie (a protože \(\Phi\) používá normu) je \(\varphi^{\times}(y) = \Phi(y - \tilde{x}) = \Phi(y - x)\) pro \(y \in \partial\mathbb{R}^n_+\)
dostáváme tvar pro \(\frac {\partial G} {\partial \vec{n}} = \frac {2 x_n} {n \alpha(n)} \frac 1 {\left| x-y \right|^n}\), protože \(\vec{n} = (0, \dots, 0, -1)\)
ten můžeme dostadit do vyjádření z Greenovy věty a dostaneme tak řešení \(\Delta u = 0\) na \(U\) & \(u = g\) na \(\partial U\) a dostaneme vyjádření pro \(u\) pomocí \(G\) pouze na \(\mathbb{R}^n_+\) (nikoliv na uzávěru)
toto je její vyjádření na \(\mathbb{R}^n_+\), ale \(u \in C^{2}(\overline{\mathbb{R}^n_+})\)\[
u(x) = \frac{2x_n}{n \alpha(n)} \int_{\partial\mathbb{R}^n_+} \frac {g(y)}{\left| x-y \right|^n}
\]
přislušný tvar (bez integrálu) můžeme pojmenovat Poissonovým jádrem \(K(x,y) = \frac{2x_n}{n \alpha(n)} \frac {g(y)}{\left| x-y \right|^n}, x \in \mathbb{R}^n_+, y \in \partial\mathbb{R}^n_+\)
Celkem dostáváme Poissonovu formuli pro poloprostor
Kapitola 8
Definice problému - homogenní (\(u_t - \Delta u = 0\)) a nehomogenní (\(u_t - \Delta u = f\)) varianta rovnice vedení tepla na otevřené množině \(U\), kdy řešení je \(u : \overline{U} \times [0, \infty) \to \mathbb{R}\)
řešení u homogenní rovnice je smíšeně homogenní pro \(\lambda, \lambda^2\) (pro \(x, t\)) – tj. pro \(u(x,t)\) je řešení i \(u(\lambda x, \lambda^2 t)\)
smíšená homogenita umožňuje přejít ke tvaru \(\frac 1 {t^\alpha} v\left( \frac x {t^\beta} \right)\), kde \(\alpha, \beta\) musíme určit
dále ještě můžeme přejít k radiálně symetrickému tvaru \(v(x) = w(\left| x \right|)\) (naše (omezující) volba) a celou rovnici přepíšeme do \(w\)
tím dostaneme ODE \(\frac n 2 w + \frac 1 2 r w' + w'' + \frac {n-1} r w' = 0\), které můžeme vyřešit pro získání fundamentálního řešení (což je hustota pravděpodobnosti na \(\mathbb{R}^n\) pro libovolné \(t > 0\) – radiálně symetrická)
fundamentální řešení je potom \[
\Phi(x,t) = \begin{cases}
\frac 1 {(4\pi t)^{\frac n 2}} e^{-\frac {\left| x \right|^2}{4t}}, & x \in \mathbb{R}^n, t > 0, \\
0, & x \in \mathbb{R}^n, t \leq 0, (x,t) \neq (0,0)
\end{cases}
\]
nyní můžeme řešit neohraničený problém \(u_t - \Delta u = 0\) na \(\mathbb{R}^n \times (0, \infty)\) & \(u = g\) na \(\mathbb{R}^n \times \left\{t = 0\right\}\)
jeho řešení je konvolucí fundamentálního řešení a \(g\), tj. \(\Phi*g\)\[
u(x,t) = \frac 1 {(4\pi t)^{\frac n 2}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac {\left| x - y \right|^2} {4t}} g(y) \mathrm{d}y
\]
je třídy \(u \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n \times (0, \infty))\)
zavedeme zobecnění neohraničeného homogenního problému do význačného času \(t = s\) (místo \(t = 0\)) přes \((x,t) \mapsto \Phi(x - y, t - s)\)
použijeme Duhamelův princip integrace přes \(s\) od \(0\) do \(t\) pro získání \[
u(x,t) = \int_0^t \frac 1 {(4\pi (t-s))^{\frac n 2}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac {\left| x - y \right|^2} {4(t-s)}} f(y,s) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}s
\] a tyto dva výsledky můžeme zkombinovat do řešení celé počáteční úlohy \(u_t - \Delta u = f\) na \(\mathbb{R}^n \times (0, \infty)\) & \(u = g\) na \(\mathbb{R}^n \times \left\{t = 0\right\}\) pro \(g \in C(\mathbb{R}^n) \cap L^\infty(\mathbb{R}^n)\) a \(f \in C_c^{2,1}(\mathbb{R}^n\times [0, \infty))\)
nyní se zaměříme na počáteční a okrajovou úlohu, tj. \(U\) je otevřená a ohraničená množina a máme terminální čas \(T\)
definujme parabolický válec\(U_T = U \times (0, T]\) a \(\Gamma_T = \overline{U_T} \setminus U_T\)
představení “analogu průměrování” u rovnice vedení tepla přes \(E(x,t,r) = \left\{(y,s) \in \mathbb{R}^n \times (-\infty, t); \Phi(x - y, t - s) \geq 1/r^n\right\}\)
potom pro \(u \in C^{2,1}(U_T)\) řešení rovnice \(u_t - \Delta u = 0\) platí \(u(x,t) = \frac 1 {4r^n} \iint_{E(x,t,r)} u(y,s) \frac{\left| x-y \right|^2}{(t-s)^2} \mathrm{d}y \mathrm{d}s\) pro libovolné \(E(x,t,r) \subseteq U_T\)
princip maxima pro omezenou rovnici vedení tepla
slabý princip (maximum na \(\overline{U_T} =\) maximum na \(\Gamma_T\))
silný princip (maximum uvnitř \(U_T\) pro souvislou množinu \(U \implies u\) je konstatní na \(\overline{U_{t_0}}\))
první dokážeme silný princip maxima
opět mějme \(M = u(x_0, t_0) = \max_{\overline{U_T}} u\)
pomocí dosti malého \(r > 0\) k němu příslušnému \(E(x_0, t_0, r)\) dostaneme, že \(u(x,t) \equiv M\) na \(E(x_0, t_0, r)\)
dále ukážeme, že v souvislé množině \(U\) jsme schopni spojit libovolné 2 body lomenou čarou, která zůstane v \(U\) přes pomocnou množinu \(V\) splňující tuto vlastnost – množina \(V\) pak je otevřená i uzavřená v \(U\) a jediná množina tuto vlastnost splňující je \(U\) samotné
potom definujeme \(\tau_1\) tak, že když jednotlivým bodům \(x_i\) lomené čáry \(\left\{x_0, \dots, x_m = x\right\}\) přiřadíme čas \(t_i\) tak, že \(t_0 > t_1 > \dots > t_m\) “čas zlomu hodnot \(u(x,t)\)” na úsečce \(L_1\) mezi \((x_0, t_0)\) a \((x_1, t_1)\) jako \[
\tau_1 = \inf\left\{s \geq t_1; u(x,t) = M, (x,t) \in L_1, t_0 \geq t \geq s\right\}
\]
pak pro \(\tau_1 > t_1\) dostaneme spor, neboť bychom mohli sestrojit \(E(x_{\tau_1}, \tau_1, r)\) s \(r > 0\) malým vhodným, že \(u(x,t) = u(x_{\tau_1}, \tau_1)\) pro \((x,t) \in E(x_{\tau_1}, \tau_1, r)\), ale \(u(x_t, t) < u(x_{\tau_1}, \tau_1)\) pro \(t_1 \leq t < \tau_1\) z definice \(\tau_1\)
proto \(\tau_1 = t_1\) a podobně provedeme pro všechny úsečky \(L_i\) lomené křivky spojující body \((x,t)\) a \((x_0, t_0)\)
slabý princip maxima pak ukážeme jednoduše uvážením souvislé komponenty \(X\) množiny \(U\), na které se realizuje maximum
jednoznačnost řešení \(u \in C^{2,1}(U_t)\) počáteční a okrajové úlohy
předpokladáme, že existují 2 různá řešení \(u_1\) a \(u_2\)
definujeme jejich rozdíly \(u_{12} = u_1 - u_2\) a \(u_{21} = u_2 - u_1\) a ukážeme, že jsou oba nekladné na \(\overline{U_T}\)
šíření tepla nekonečnou rychlostí – pro úlohu \[\begin{align*}
u_t - \Delta u &= 0, &&\text{na } U_T, \\
u &= 0, &&\text{na } \partial U \times [0, T], \\
u &= g, &&\text{na } U \times \left\{t = 0\right\},
\end{align*}\] kde \(g\) je nezáporná funkce. Pokud \(g\) je někde na \(U\) kladná, potom je \(u\) kladná na \(U_T\)
jednoznačnost řešení počáteční (neomezené) úlohy s terminálním časem\(T > 0\)\[\begin{align*}
u_t - \Delta u &= 0, &&\text{na } \mathbb{R}^n \times (0, T], \\
u &= g, &&\text{na } \mathbb{R}^n \times \left\{t = 0\right\},
\end{align*}\]
princip maxima pro neomezené úlohy - pokud jsme schopni u ohraničit exponenciálou (splňuje tzv. odhad růstu) pro nějaké \(A,a \in \mathbb{R}> 0\)\[
\left| u(x,t) \right| \leq A e^{a\left| x \right|^2}
\] pro \(x \in \mathbb{R}^n\) a \(t \in [0,T]\), potom \(\sup_{\mathbb{R}^n \times [0,T]} u = \sup_{\mathbb{R}^n} g\)
jednoznačnost řešení s odhadem růstu – existuje nejvýše jedno takové řešení
opět předpokladáme, že existují 2 různá řešení \(u_1\) a \(u_2\)
zavedeme jejich rozdíly \(u_{12} = u_1 - u_2\) a \(u_{21} = u_2 - u_1\)
i tyto rozdíly splňují odhad růstu a tedy jsou nekladná na \(\mathbb{R}^n \times [0,T]\)
pokud funkce \(u \in C^{2,1}(U_T)\) je řešení rovnice \(u_t - \Delta u = 0\), potom \(u \in C^{\infty}(U_T)\)
slabší výsledky pro počáteční a okrajovou úlohu (tj. omezenou)
nejvýše jedno řešení nehomogenní \(u_t - \Delta u = f\) na \(U_T\) a \(u = g\) na \(\Gamma_T\) pro \(u \in C^{2,1}(\overline{U_T})\)
mějme opět dvě různý řešení \(u_1\) a \(u_2\)
potom zaveďme jejich rozdíl \(w = u_1 - u_2\), který řeší homogenní úlohu, a energetický funkcionál\(e(t) = \int_U w^2(x,t) \mathrm{d}x\)
tedy funkce \(e\) je nerostoucí a na množině \(\left\{t = 0\right\}\) nulová z definice \(w\), tedy je nulová na celém \([0, T]\) a proto se řešení rovnají
rovnají-li se dvě řešení \(u, \tilde u\) nehogenní rovnice \(u_t - \Delta u = f\) na \(U_T\) a \(u = g\) na \(\partial U \times [0, T]\) v terminálním čase na celém \(U\), tj. \(u(x,T) = \tilde u(x,T)\) pro \(x \in U\), potom \(u \equiv \tilde u\) na \(U_T\) (problém zpětné jednoznačnosti)
opět zaveďme rozdíl řešení \(w = u - \tilde u\) a energetický funkcionál \(e(t)\), přičemž stejně jako v předchozím důkazu \(e'(t) = -2\int_U \left| \mathrm{D}w \right|^2 \mathrm{d}x\)
dále také \(e''(t) = 4 \int_U (\Delta w)^2 \mathrm{d}x\) a \((e'(t))^2 \leq e(t)e''(t)\) pomocí Greenových identit a Holder-Cauchyovy nerovnosti
předpokladáme sporem, že \(e(t) > 0\) na nějakém intervalu \([t_1, t_2)\) a \(e(t_2) = 0\) (což při nejhorším bude \([0, T)\))
zavedeme funkci \(F(t) = \log e(t)\) a spočítáme \(F'(t), F''(t)\), kde \(F''(t) \geq 0\) a tedy \(F\) je konvexní (zde využijeme \((e'(t))^2 \leq e(t)e''(t)\))
napíšeme definici konvexity funkce přes konvexní kombinaci funkčních hodnot \(F\) pro \(\tau \in (0,1)\) a časy \(t_1\) a \(t_3 \in (t_1, t_2)\)
logaritmus je rostoucí funkce, proto se můžeme vrátit k \(e\) (po záměně \(+\) na \(\cdot\) apod.)
jelikož \(e\) je spojitá, tak můžeme přejít k časům \(t_1\) a \(t_2\), kde avšak dostaneme spor, proto \(e(t) = 0\) na \([0, T]\)